¿Cuántos paquetes de figuritas tengo que comprar para llenar un álbum?

Supongamos que tenemos que llenar un álbum de 300 figuritas - cantidad parecida al que tiene el último de fútbol - y quiero ir al kiosco para comprar una cantidad de paquetes (6 figuritas por paquete a $1,10) de manera tal de llegar a mi casa y con la esa cantidad llenar el álbum sin tener que ir devuelta al kiosco y tampoco quedarme con figuritas de más.

Para el problema suponemos que la cantidad de figuritas que se imprime es monumental (no podemos comprar todas, ni tampoco por comprar todos los paquetes que querrámos vamos a dejar a los otros sin figuritas), que no hay figuritas difíciles (todas se imprimen la misma cantidad de veces) y que no podemos cambiarlas - a mi me gusta el nola y el late, pero ¿qué se le va a hacer?.

Es evidente que la mínima cantidad de paquetes que tengo que comprar es 50 pero la probabilidad de que no me toque ninguna repetida es miles de millones de veces más dificil que ganar la lotería. ¿Cuántos compro entonces 350, 400? ¿Quién me asegura que no me van a sobrar y voy a perder plata? 

Puede ocurrir que aún comprando 1000 paquetes no lo llene pero intuitivamente sabemos que esto es improbable ya que tenemos más del triple de figuritas.

Debemos saber el valor esperado. ¿Qué?

A continuación voy a explicar informalmente lo que significa. El que lo sepa saltée este párrafo. Supongamos que tengo una moneda de 25 centavos argentina. Si la lanzo al aire está la posibilidad de que salga cara o salga ceca. Si la lanzo una cantidad grande de veces (digamos un millón) esperaría que salga cara la mitad de las veces y ceca la otra. El valor esperado es uno dividido dos (1/2). Puede que la moneda salga más veces cara que ceca pero espero que salga cara una vez de cada 2.

Si multiplico el valor esperado por $1,10 es el valor que espero gastar en completar el álbum (sin contar el precio del álbum, claro).

Un supuesto que creo conveniente y que no modifica mucho el análisis es trabajar con "paquetes" de una figurita en vez de 6. De esta manera es más intuitivo (después podemos dividir el valor esperado por el número de figuritas que contiene cada paquete). Lo que queremos saber es cuál es la cantidad de paquetes que debemos comprar y su correspondiente probabilidad para calcular la esperanza. Para ello debemos preguntarnos por figuritas repetidas. ¿Cómo es esto?

El primer caso es el más facil. Para completar el álbum con 300 paquetes ¿cuántas figuritas repetidas puede haber? Ninguna.

¿En 301? 2.
¿En 302? 4. (dos y dos, o cuatro iguales).
¿En 303? 6. (dos, dos y dos, tres y tres, cuatro y dos o seis iguales) .

También podría ver como es el camino que recorren las figuritas y ver hacia donde ellos nos llegan. Por ejemplo abro el primer paquete

¿Cuál es la probabilidad de que esté repetida la figurita que trae dentro? ¡¡Ninguna porque es la primer figurita.!!

¿Y de la segunda? 1/300. Hay una que ya tengo. ¿Y de que no se repita? 299/300. Hay doscientos noventa y nueve que no.

¿Y de que la tercera esté repetida? Depende si la primera fue repetida o no. Si no fue repetida 2/300. Si fue repetida 1/300.

Vemos así que para completar el álbum comprando exactamente 300 paquetes debemos hacer

300/300 x 299/300 x 298/300 x 297/300 x ... x 1/300

Esto equivale a decir

299!/(300)^299

Este número es muy, pero muy, pero muy chico.

El signo de admiración se usa en matemática para decir factorial: multiplicar al número por todos los enteros menores a él hasta llegar a 1. Por ejemplo.

2! = 2 x 1 = 2
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Otra alternativa es tratar de modelizar el problema. En vez de 300 figuritas, que es un montón, tratemos de hacerlo con un álbum de 10 nada más.

¿Cuál es la probabilidad de completarlo comprando 10 paquetes?

9!/(10)^9

Este número es mucho más grande y da

0,036288 %

O sea de cada 10.000 personas se espera que entre 3 y 4 completen el álbum comprando sólo 10 paquetes.

Hagámoslo más facil aún. Un álbum con sólo dos figuritas.

¿Cuál es la probabilidad de completarlo comprando tan sólo dos paquetes?

1!/(2)^1

Vale decir 50% o que 1 de cada 2 personas lo completan comprando sólo dos paquetes.

¿Qué pasa con el resto de la gente?

Tendrán dos figuritas repetidas y no habrán completado el álbum por lo tanto tendrán que comprar otro paquete. ¿Cuál es la probabilidad de que salga no repetida? Nuevamente 1/2. Para este entonces 3/4 partes de la gente completó el álbum. 

Si seguimos iterando esto, en el próximo paso 7/8 habrán completado el álbum y los otros: 15/16 ; 31/32; 63/64 ; etc, etc, etc,. ¿Pero en algún momento es completamente probable que haya completado el álbum comprando una cantidad dada de paquetes? NO. Sólo ocurre en el infinito que NO ES UN NÚMERO.

Finalmente podemos decir que el valor esperado es infinito lo que no nos dice nada. Los problemas matemáticos muchas veces son así: nos sirven para pensar y, a veces, no llevan a nada. Pero lo que vale es el intento.

Sin embargo, no me conformo. Dejo una pregunta abierta: ¿Cuál es el modo de la variable aleatoria del problema original? Es decir, para los que no saben mucho de estadística, el valor que acapara la mayor probabilidad. En el último caso era dos paquetes ya que tenía el 0,5 de probabilidad. El resto tenía menor probabildad: 0,25 para tres paquetes, 0,125 para cuatro, etc.